Anlage A zur Anlage 1 des Anhangs II - Ermittlung der Seilkräfte

1. Vorbemerkungen

Diese Anlage dient der Berechnung von räumlichen Seiltragwerken unter Einwirkung von Eigenlast, Wind und wandernden Einzellasten aus Zug am Gierseil. In dieser Anlage ist unter Ansatz vereinfachender Annahme eine Möglichkeit für eine Handrechnung bei Angriff einer Einzellast in Fährseilmitte aufgezeigt. Weitere einer Handrechnung zugängliche Berechnungsverfahren können z. B. [1] entnommen werden.

2. Gierseil

Bei einem straff gespannten Gierseil ergibt sich die Seilkraft Z_G am oberen Ende des Gierseils zu

(A.1)

mit

Hp	stromparallele horizontale Kraftkomponente aus Strömung
HW	stromparallele horizontale Kraftkomponente aus Wind
gG	Eigengewicht des Gierseils
lG	Gierseillänge
aG	Projektion des Gierseils in die Horizontale
fG	Projektion des Gierseils in die Vertikale

und

(A.2)

mit

ZG,H	stromparallele horizontale Kraftkomponente der Kraft ZG im Gierseil
ZG,V	vertikale Kraftkomponente der Kraft ZG im Gierseil.

Abbildung A.2.1 zeigt die Geometrie des Gierseils sowie die angreifenden Kräfte.

Abbildung A.2.1: Geometrie und Kräfte des Gierseils

Zur Ermittlung der Komponenten Z_G,H und Z_G,V kann in erster Näherung davon ausgegangen werden, dass die Tragseilebene ebenfalls unter dem Winkel α gegen die Horizontale geneigt ist.

3. Tragseil

3.1 Geometrie

Für ein flach zwischen zwei gleich hoch liegenden Aufhängepunkten gespanntes Seil (l >> f) kann mit guter Näherung die Parabel

(A.3)

angenommen werden (Abbildung A.3.1). Für die Seillänge l kann bei einem flach gespannten Seil in guter Näherung

(A.4)

angenommen werden.

Abbildung A.3.1: Tragseilgeometrie

3.2 Seilkräfte

3.2.1 Ermittlung der Kräfte

Die aus Eigenlast, Windlast und Gierseilkraft im Tragseil wirkenden Seilkräfte werden jeweils mit ihren Komponenten Z_T,V, Z_T,H und Z_T,N ermittelt und überlagert. Die einzelnen Komponenten der Seilkräfte des Tragseils sind wie folgt definiert:

ZT,V	vertikaler Anteil der Seilkraft am Auflager, Druckkraft in Mast
ZT,H	stromparallele Komponente der Seilkraft am Auflager
ZT,N	in Spannrichtung des Tragseils wirkende Komponente der Seilkraft am Auflager
ZT	maximale Seilkraft

Es wird vereinfacht davon ausgegangen, dass sich der Durchhang sowie dessen Vergrößerung infolge Seildehnung linear addieren.

3.2.2 Eigenlast

Die Komponenten der Seilkraft Z_T,g infolge der Eigenlast g_T ergeben sich wie folgt:

(A.5)

(A.6)

(A.7)

und mit Berücksichtigung der Seildehnung

(A.8)

Die maximale Seilkraft beträgt

(A.9)

oder

(A.10)

3.2.3 Windlast

Die Komponenten der Seilkraft Z_T,w infolge der Windlast w_T ergeben sich wie folgt:

(A.11)

(A.12)

(A.13)

Mit Berücksichtigung der Seildehnung erhält man

(A.14)

Die Seilkraft beträgt

(A.15)

oder

(A.16)

3.2.4 Gierseilkraft

Die Komponenten der Seilkraft Z_T,G infolge der Gierseilkraft Z_G ergeben sich wie folgt:

(A.17)

(A.18)

(A.19)

und der Seilkraft

(A.20)

oder bei Berücksichtigung der Seildehnung

(A.21)

3.2.5 Resultierende Seilkraft Z_T

Die Komponenten der resultierenden Seilkraft Z_T ergeben sich aus der Summe der Komponenten der zuvor angegebenen Teilkräfte (Abbildung A.3.2):

(A.22)

(A.23)

(A.24)

Die maximale Seilkraft erhält man aus

(A.25)

Abbildung A.3.2: Tragseilkräfte im Raum

3.3 Seildehnung

Da sowohl Wind als auch Eigengewicht nicht als Einzellast sondern über die ganze Länge des Tragseils angreifen, wird davon ausgegangen, dass eine Seildehnung nur durch die Kraft aus dem Gierseil hervorgerufen wird. Infolge der im Seil wirkenden Seilkraft Z_G entsteht eine Seildehnung Δl_T

(A.26)

mit

lT	Seillänge unter Eigenlast
l’T	gedehnte Seillänge unter Eigenlast und Zugkraft ZG

Abbildung A.3.3: Seildehnung

Für die Seillänge (Abbildung A.3.3) kann bei einem flach gespannten Seil in guter Näherung zu

(A.27)

mit

Z	Zugkraft im Seil
E	Verformungsmodul des Seils nach DIN EN 1993-1-11
Am	metallische Querschnittsfläche des Tragseils nach DIN EN 1993-1-11

angenommen werden.

Infolge des vergrößerten Seildurchhangs in der Seilebene

(A.28)

werden die geometrischen und statischen Verhältnisse verändert. Die Seilkraft mit Seildehnung wird über den Korrekturfaktor

(A.29)

mit

ZT	Seilkraft ohne Seildehnung
Z'T	Seilkraft mit Seildehnung

erfasst.

Abbildung A.3.4:  Kräftegleichgewicht für das Tragseil mit und ohne Seildehnung bei angreifender Seilkraft Z_G

Nach Abbildung A.3.4 erhält man den Korrekturfaktor über

(A.30)

Der Korrekturfaktor ς ergibt sich zu

(A.31)

Die Gleichung kann für eine iterative Berechnung des Korrekturfaktors ς und mit Hilfe der Näherung Z_T zur Berechnung von

(A.32)

verwendet werden.

Bemerkenswert ist, dass bei gleichbleibendem Winkel τ₁ der Fehler völlig unabhängig von der Fährseillänge und vom Mastabstand ist. Interessiert man sich für die Auswirkung des Mastabstandes auf den Fehler, so kann man auch folgende umgeschriebene Formel verwenden:

(A.33)

Seildehnungen infolge Temperaturänderungen und deren Einfluss auf die Kräfte im Tragseil sind gesondert zu erfassen.

4. Abspannseile

In der Regel werden die Masten durch Abspannseile quer zur Strömungsrichtung und parallel zur Strömungsrichtung abgefangen. Für die Bemessung der Abspannseile anzusetzenden Einwirkungen ergeben sich aus den Kräften Z_T,H und Z_T,N des Tragseils sowie aus Wind. Seillängenänderungen infolge Temperaturänderung sind bei der Ermittlung der maßgebenden Seilkräfte zu berücksichtigen.

Die Komponente Z_T,V aus dem Tragseil sowie Eigengewicht werden als Normalkräfte über den Mast abgetragen.

5. Schrifttum

[1] Petersen, Chr.: Stahlbau. Grundlagen der Berechnung und baulichen Ausbildung von Stahlbauten. Wiesbaden 2013